Materi Peluang Kelas VIII SMP Kurikulum 2013

  

 

  Apakah kalian bermain ular tangga yang ada dibelakang monopoli? Di dalam permainan ular tangga tentu kalian akan menggunakan dadu untuk menentukan jumlah langkah yang harus kalian ambil. Pada proses pelemparan sebuah dadu, hasil atau angka yang mungkin muncil adalah 1,2,3,4,5, atau 6. Kemungkinan munculnya angka pada saat melempar sebuah dadu merupakan salah satu contoh Peluang Matematika.

     Contoh lainnya dari peluang dalam matematika adalah pelemparan koin. Pada saat melempar koin ada dua buah kemungkinan sisi yang muncul. Untuk Sisi yang pertama berupa angka dilambangkan dengan(A) dan sisi yang kedua adalah gambar dilambangkan dengan(G). Pada materi kali ini kita akan membahasa mengenai rumus matematika dasar akan memberikan rangkuman materi mengenai pengertian dan rumus peluang dalam matematika.  Mari kita simak dengan seksama rangkuman materi peluang dalam matematika:

Memahami Definisi dan Rumus Peluang dalam Matematika

Definisi Peluang

Peluang merupakan sebuah cara yang dilakukan untuk mengetahui kemungkinan yang akan terjadinya pada peristiwa/Kejadian (events).

Dalam materi mengenai peluang, Kita akan mengenal beberapa istilah yang sering digunakan, seperti:

Ruang Sampel

Merupakan himpunan dari semua hasil percobaan yang mungkin terjadi.

Titik Sampel

Merupakan anggota yang ada di dalam ruang sampel

Kejadian

Merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.

RUMUS PELUANG MATEMATIKA

Frekuensi merupakan perbandingan antara banyaknya percobaan yang dilakukan dengan banyaknya kejadian yang diamati. Frekuensi dapat diketahui dengan menggunakan rumus:

Apabila setiap titik sampel dari anggota ruang sampel dilambangkan dengan (S) mempunyai peluang yang sama, maka peluang kejadian K yang jumlah anggotanya dinyatakan dalam n(K) dapat diketahui dengan rumus :

Peluang munculnya kejadian dapat diprediksi/diperkirakan melalui notasi di bawah ini:

Apabila nilai P(K) sama dengan 0 maka kejadian K tersebut sangat mustahil untuk terjadi

Apabila nilai P(K) sama dengan 1 maka kejadian K tersebut pasti akan terjadi

Amatilah contoh soal di bawah ini:

Contoh Soal 1

Pada proses yang terjadi saat pelemparan dadu, tentukanlah peluang munculnya mata dadu yang berangka ganjil

Jawab:

Ruang sampel S = {1,2,3,4,5,6}

n(S) = 6

Mata dadu ganjil = {1,3,5}

n(S) = 3

maka P(K) = 3/6 = 1/2

Kejadian Majemuk

Kejadian majemuk merupakan dua atau lebih kejadian yang dioperasikan sehingga terbentuklah sebuah kejadian yang baru

Suatu kejadian X & kejadian komplemen berupa X' memenuhi persamaan:

P(X) + P(X') = 1 atau P(X') = 1 - P(X)

Contoh Soal 2

Andre mempunyai seperangkat kartu bridge, diambillah satu buah kartu secara acak. Tentukanlah sebuah peluang terambilnya kartu yang bukan As.

Jawab:

jumlah kartu bridge = n(S) = 52

jumlah kartu As = n(K) = 4

P(K) = 4/52 = 1/13

peluang terambil untuk bukan kartu As = P(K') = 1-P(K) = 1 - 1/13 = 12/13

PENJUMLAHAN PELUANG

Kejadian Saling Lepas

Dua buah kejadian C & D dikatakan saling lepas apabila tidak ada satupun elemen pada kejadian C yang sama dengan elemen yang ada pada kejadian D. untuk dua kejadian yang saling lepas, maka peluang salah satu C atau D mungkin terjadi, rumusnya adalah:

P(C u D) = P(C) + P(D)

Contoh Soal 3

Dua dadu masing-masing berwarna merah dilanmbangkan (m) dan putih (p) dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali, tentukanlah peluang munculnya mata dadu yang memiliki jumlah 3 atau 10!

Jawab:

Hasil pelemparan dadu tersebut dapat digambarkan dengan tabel ini:

Kejadian mata dadu berjumlah 3 bertanda berwarna kuning.

A = {(1,2), (2,1)}

n(A) = 2

Kejadian mata dadu berjumlah 10 ditandai dengan berwarna biru

B = {(4,6), (5,5), (6,4)}

Karena tidak ada elemen yang sama pada A&B digunakan rumus:

P(A u B) = P(A) + P(B)

P(A u B) = 2/36 + 3/36

P(A u B) = 5/36

Kejadian Tidak Saling Lepas

Artinya ada elemen G yang sama dengan elemen H (G=H), rumusnya dapat dituliskan menjadi:

P(G u H) = P(G) + P(H) - P(G n H)

Contoh Soal 4
Sebuah kartu diambil dari tumpukkan kartu bridge secara random. coba kalian tentukan peluang terambil kartu Scop dan kartu bergambar (K,Q,J)!
Jawab:
Jumlah kartu bridge = n(S) = 52
jumlah kartu scop = n(A) = 13
jumlah kartu bergambar = n(B) = 12
karena ada kartu bergambar yang merupakan kelompok kartu scop (J hati, Q hati, dan K hati) maka C dan E tidak saling lepas sehingga digunakanlah rumus:
P(C u E) = P(C) + P(E) - P(C n E)
= 13/52 + 12/52 - 3/52
= 22/52 = 11/26

Kejadian Saling Bebas

Dua buah kejadian dapat disebut saling bebas bila munculnya kejadian K tidak berpengaruh pada munculnya kejadian L sehingga peluang kejadian K & L terjadi bersamaan dapat dituliskan menjadi:

P(K n L) = P(K) x P(L)

Contoh Soal 5

Pada percobaan pelemparan, ada dua buah dadu, coba tentukanlah peluang munculnya angka genap pada dadu yang pertama dan angka ganjil prima pada dadu yang kedua!

Jawab:

misalkan K = kejadian munculnya mata dadu genap pada dadu pertama = {2,4,6} maka P(K) = 3/6

misalkan L = kejadian munculnya mata dadu ganjil prima pada dadu kedua = {3,5} maka P(L) = 2/6

karena kejadian K tidak berpengaruh pada kejadian L maka digunakan rumus:

P(K n L) = P(K) x P(K)

P(K n L) = 3/6 x 2/6 = 1/6

Kejadian Bersyarat

kejadian bersyarat terjadi apabila kejadian X mempengaruhi munculnya kejadian Z atau sebaliknya. maka dapat dituliskan seperti ini:

P(W n Z) = P(W) x P(Z/W)

atau

P(W n Z) = P(Z) x P(W/Z)

Contoh Soal 6

ada sebuah kotak yang berisi 5 balon merah dan 4 bolon hijau. bila diambil dua buah balon satu persatu tanpa adanya pengembalian, tentukanlah peluang balon yang terambil adalah balon berwarna merah pada pengambilan pertama dan balon berwarna hijau pada pengambilan kedua!

Jawab:

Pada pengambilan pertama tersedia 5 balon berwarna merah dari 9 balon berwarna yang ada.

maka P(W) = 5/9

Pada pengambilan kedua ada 4 balon berwarna hijau dari 8 balon berwarna yang tersisa (dengan syarat bola merah telah terambil).

maka P(Z/W) = 4/8

karena kejadiannya saling berpengaruh, digunakanlah rumus:

P(W n Z) = P(W) x P(Z/W)

P(W n Z) = 5/9 x 4/8 = 5/18

Pengertian dan Rumus Frekuensi Harapan 

Frekuwensi harapan merupakan hasil dari perkalian antara peluang munculnya suatu kejadian/event dikalikan dengan banyaknya percobaan yang dilakukan. Sebagai contohnya pada pelemparan koin, nilai peluang munculnya sisi gambar (G) adalah 1/2. Apabila pelemparan koin dilakukan sebanyak 30x maka harapan munculnya sisi gambar (G) adalah:

1/2 x 30 = 15 kali

Karena dinamakan sebagai harapan, maka wajar saja apabila dari 30 pelemparan yang dilakukan bisa terjadi kemunculan sisi gambar koin sebanyak 14x dan kemunculan angka sebanyak 16x. Banyaknya kejadian yang bisa diharapkan dari suatu percobaan itulah yang disebut dengan frekuensi harapan. Rumus untuk mencari frekuensi harapan adalah:

Frekuensi harapan munculnya kejadian 

C = P(C) x banyaknya percobaan

Untuk memahami cara penggunaan rumus di atas, maka simaklah contoh soal berikut ini:

Contoh Soal:
Adi mempunyai sebuah dadu dilemparkan sebanyak 60 kali. Hitunglah frekuensi harapan yang muncul mata dadu yang kurang dari 6!

Penyelesaian:
Misalkan C = kejadian munculnya angka dadu kurang dari 6,
maka C = {1, 2, 3, 4, 5} dan P(C) = 5/6 = 5/6

Frekuensi harapan = P(C) x banyaknya percobaan
Frekuensi harapan = 5/6 x 60 = 50


Sehingga frekuensi harapan munculnya sebuah mata dadu yang kurang dari 6 adalah 50 kali.

Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Peluang komplemen dari suatu kejadian merupakan peluang dari suatu kejadian yang berlawanan dengan suatu kejadian yang ada. Komplemen dari kejadian W merupakan himpunan dari seluruh kejadian yang bukan W. Komplemen dari kejadian W dapat ditulis sebagai W^c. Perlu kalian ingat bahwa peluang yang dimiliki suatu kejadian dan komplemennya selalu berjumlah 1 artinya suatu kejadian pasti terjadi atau pasti tidak terjadi. Sehingga rumusnya adalah:

P(W) + P(W^c) = 1
P(W^c) = 1 – P(W)

Contoh:
Apabila kita melempar dadu bermata 6, maka peluang untuk tidak mendapat sisi dadu 5 adalah:

P(5^c) = 1 – P(5)
P(5^c) = 1 – 1/6
P(5^c) = 5/6